2、九章算术 卷第一 方田——里田术

原文

[3]今有田广一里，从一里。问为田几何？

答曰：三顷七十五亩。

[4]今有田广二里，从三里。问为田几何？

答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

今译：

[1]已知一块正方形的田地边长为1里。问这块田地的面积是多少？

解：1里=300步，1亩=240平方步，100亩=1顷

正方形田地面积=1里×1里

=300步×300步

=90000（平方步）

=90000÷240

=375亩

=3顷75亩

由此归纳出：1平方里=375亩

[2] 已知一块长方形的田地宽2里，长3里。问这块田地的面积是多少？

解：长方形田地面积=2里×3里

=6（平方里）

=6×375亩

=2250亩

=22顷五十亩

计算长宽以“里”为单位的长方形面积的方法：长方形的长（里数）乘以宽（里数），所得的积为长方形田地的面积（积里，即为：平方里）。用所得的积乘以375亩，得数即为田地的亩数。

即：积里=广（里）×从（里）

亩数=积里×375亩

评议：

上一讲我们学习了《九章算术》的方田术，给出了长方形（含正方形）的面积公式，计算了以“步”为长度单位的面积，定义了1亩标准，即1亩=240平方步，还规定了100亩=1顷。

这一讲我们继续学习《九章算术》的里田术，还是求解长方形田地的面积，只是将之前的小单位“步”改成大单位“里”。

对于“里田术”，笔者谈谈我个人的感想：

1、古人已经认识到“正方形是特殊的长方形”，只是正方形的边长仍然称为广（宽）和从（长）。

1平方里方田示意图

前两道题都是求长方形的面积，而第三题是求正方形面积，通过此题的计算过程（面积=长×宽），我们可以推出：古人已经认识正方形就是长方形，只是特殊的一类长方形（广与从相等）。

通过此题定义了1平方里的标准，等于375亩。

2、感叹古人能娴熟地运用“九九表”。

“九九表”由谁首创，何时创造，已无从考证。但有一点是可以明确的，在春秋战国时代，“九九表”已经广泛流行了。

她又为什么叫“九九表”，而不是“一一表”呢？由于我国古代乘法口诀是从“九九八十一”倒叙的，而非现代从“一一得一” 顺叙的。为了方便记忆，古人采用起始两字“九九”来表示此种方法。

古时的计算是用算筹（参见我的文章“算、筭、祘”）进行的，在乘除运算中，一边念叨“九九”乘法口诀，一边摆弄算筹，得出结果。此过程对于当时的人们颇为神秘。至于如何运用算筹进行加减乘除开方等运算，我会另起文章叙述。

3、感叹古人对（平方）步、（平方）里、亩、顷单位之间的换算相当熟练。

通过翻译解题的过程，我们发现，如果不对原文进行翻译，边长为1里的正方形田地面积，今人是无法理解其答案的（三顷七十五亩）。正是这个过程，说明古人对（平方）步、（平方）里、亩、顷单位之间的换算是非常熟练的。

平方步、平方里、亩、顷单位之间的换算规律

4、疑惑

笔者还有个疑惑，古时的（平方）步、（平方）里、亩、顷与今天的平方米是如何换算的呢？还需要查阅资料。

参考文献

1、肖作政编译.《九章算术今解》.大连：辽宁人民出版社，1990

2、郭书春译注.《九章算术译注》.上海：上海古籍出版社，2009

3、邹涌译解.《九章算术》.重庆：重庆出版社，2023